ミレニアム懸賞問題のような超抽象的な空間の話だけでなく、小学校の四則演算さえ分かれば誰でも意味を理解できるにもかかわらず、人類を翻弄し続けている命題があります。その代表格が「コラッツ予想」と「ゴールドバッハ予想」です。
コラッツ予想現在の状況：天才テレンス・タオですら「完全解明には手が出ない」
コラッツ予想のルールは驚くほどシンプルです。「任意の正の整数を取り、偶数なら2で割り、奇数なら3を掛けて1を足す。この操作を繰り返すと、どんな数から始めても必ず最後は1に到達するのか？」。
この単純明快な問いに対し、20世紀を代表する数学者ポール・エルデシュは「数学はまだこのような問題に対する準備ができていない」と警告しました。コラッツ予想現在の状況として特筆すべきは、現代数学の巨人テレンス・タオ（UCLA教授）が2019年に発表した論文です。タオは確率論的手法を用いて、「ほぼすべての数において、コラッツの操作を続けると開始した数より極めて小さい値に到達する」ことを証明しました。これは歴史的な前進でしたが、それでも「例外的な数が絶対に存在しないか」という完全証明には至っていません。国内の民間企業（BIPROGY等）が独自に1億2000万円の懸賞金を設けたことでも大きな話題となりましたが、全容解明の気配はいまだ見えません。
P対NP問題わかりやすい解説：現代のIT社会を崩壊させかねない究極の問い
一方、情報化社会の根幹を揺るがすのが「P対NP問題」です。P対NP問題わかりやすい解説を試みるなら、次の一言に尽きます。
「ある問題の『答えが正しいかどうかを確認すること』が素早くできるなら、『自力で答えを見つけ出すこと』も素早くできるのか？」
例えば、数独（ナンプレ）を解くのには何十分も頭を抱えますが、他人が解いた完成図を見て「行や列に同じ数字が重なっていないか」を確認するのは一瞬で終わります。確認が容易な問題（NP）は、解くのも容易（P）なのか。直感的には「解くほうが圧倒的に難しいに決まっている（P≠NP）」と思えますが、それを論理的に証明できた人間は過去に一人もいません。もし仮に「P＝NP（解くのも確認と同じくらい簡単）」であることが証明されてしまえば、解くのに天文学的な時間がかかることを前提に作られている世界中の暗号通信（金融取引、軍事機密、ブロックチェーン）は一瞬で安全性を失うことになります。
ゴールドバッハ予想未解決：オイラーへの手紙から280余年の攻防
1742年、プロイセンの数学者クリスティアン・ゴールドバッハがレオンハルト・オイラーに送った書簡に端を発するゴールドバッハ予想未解決の歴史も驚異的です。「4以上のすべての偶数は、2つの素数の和で表すことができる（例：4=2+2, 6=3+3, 10=3+7, 100=3+97）」。コンピュータによるブルートフォース検証では4×10の18乗（400京）まで例外なく成立することが確かめられていますが、無限に存在する偶数すべてで成り立つ保証はどこにもありません。「3つの素数の和」に関する弱い命題（奇数ゴールドバッハ予想）は近年解決されたものの、本丸である「偶数＝2つの素数の和」は強固に人類を拒絶しています。
