反復試行の確率を完全にマスターするために、定期試験から大学入試まで頻出する代表的な3つのモデル問題を厳選しました。思考プロセスを段階的に追いながら確認していきます。
典型問題1：コインを用いた基本演習
【問題】 1枚の硬貨を6回投げるとき、表がちょうど4回出る確率を求めよ。
【解説・考え方】
1回の投擲で表が出る確率は 1/2、裏が出る確率は 1 - 1/2 = 1/2 です。
全6回のうち、どの4回で表が出るかを選ぶ組み合わせは 6C4 通りです。
6C4 = 6C2 = (6 × 5) / (2 × 1) = 15 通り。
表が4回、裏が 6 - 4 = 2回 出る特定の並びの確率は (1/2)4 × (1/2)2 = (1/2)6 = 1/64 です。
したがって、求める確率は以下の通り計算されます。
6C4 × (1/2)4 × (1/2)2 = 15 × (1/64) = 15/64
典型問題2：サイコロを用いた複数事象の演習
【問題】 1個のサイコロを5回投げるとき、1の目がちょうど2回、偶数の目がちょうど2回出る確率を求めよ。
【解説・考え方】
この問題は「事象が2種類」ではなく「3種類（1の目、偶数の目、それ以外）」に分岐する発展形です。教科書の単純な nCr 公式をそのまま当てはめようとすると破綻します。ここで威力を発揮するのが「同じものを含む順列」の視点です。
- 1の目が出る事象（A）：確率は 1/6（2回発生）
- 偶数の目（2, 4, 6）が出る事象（B）：確率は 3/6 = 1/2（2回発生）
- それ以外の目（3, 5）が出る事象（C）：確率は 2/6 = 1/3（5 - 2 - 2 = 1回発生）
特定の順番（例えば「A, A, B, B, C」）で発生する確率は、各試行が独立であるため積の法則より「(1/6)2 × (1/2)2 × (1/3)1」となります。
次に、5回の投擲枠に Aが2個、Bが2個、Cが1個 並ぶ組み合わせの総数を求めます。これは同じものを含む順列の公式、あるいはCの連続適用で求められます。
並び替えの総数 = 5! / (2! 2! 1!) = 120 / (2 × 2 × 1) = 30通り（※ 5C2 × 3C2 × 1C1 = 10 × 3 × 1 = 30通り と計算しても同様）。
したがって、求める確率は以下の通りです。
30 × (1/36) × (1/4) × (1/3) = 30 × (1/432) = 5/72
典型問題3：「少なくとも1回」を含む余事象パターン
【問題】 1個のサイコロを4回投げるとき、6の目が「少なくとも1回」出る確率を求めよ。
【解説・考え方】
問題文に「少なくとも〜」というキーワードが現れた場合、直接「1回出る確率」「2回出る確率」「3回出る確率」「4回出る確率」を求めて合算するのは計算量が増え、ミスの温床になります。全体の確率 1 から「余事象（1回も起きない確率）」を差し引くのが定石です。
- 6の目が出る確率：1/6
- 6以外の目が出る確率：5/6
- 余事象：4回ともすべて6以外の目が出る確率
4回すべて6以外の目が出る確率は、配置の組み合わせが 4C0 = 1通り であるため、「(5/6)4 = 625/1296」となります。
したがって、求める確率は余事象の引き算により求まります。
1 - (5/6)4 = 1 - (625 / 1296) = 671/1296
