「アプリを開いていない間もメッセージを受信する」ために不可欠なのが、バックグラウンド更新の権限です。これがオフになっていると、アプリを画面上に立ち上げるまで外部サーバーとの通信が遮断されてしまいます。
iPhoneの「設定」>「一般」>「Appのバックグラウンド更新」へと進み、最上部の設定が「Wi-Fiとモバイルデータ通信」になっていることを確認した上で、一覧の中からバックグラウンドApp更新LINEのスイッチが確実にオンになっているかを確認してください。
さらに、外出先で通知が届かない場合は、モバイルデータ通信LINE設定の通信許可が切れている可能性があります。「設定」>「モバイル通信」を開き、アプリ一覧の中のLINEがオンになっているかを確かめましょう。Wi-Fiアシストや通信の節約設定が原因でパケット通信が遮断されているケースもあるため、通信制限がかかっていないかもあわせてチェックが必要です。