直感的なイメージを数理的に裏付けるのが、大学初年次の微積分で学ぶグリーンの定理と、複素解析の背骨であるコーシーリーマンの関係式です。この2つの架け橋を渡ることこそが、コーシーの積分定理証明における最大の山場となります。
複素関数 $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$ と、複素微小変位 $dz = dx + i dy$ を考えます。閉曲線 $C$ に沿った周回積分を展開すると、次のように実部と虚部の実線積分に分離できます。
$$\oint_C f(z) dz = \oint_C (u + iv)(dx + idy) = \oint_C (u dx - v dy) + i \oint_C (v dx + u dy)$$
ここで、平面上の線積分を領域 $D$ の重積分へと変換するグリーンの定理を適用します。グリーンの定理は、反時計回りの閉曲線 $C$ とその内部領域 $D$ に対して次の等式を保証します。
$$\oint_C (P dx + Q dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy$$
この変換式を、先ほどの実部と虚部の線積分にそれぞれ適用すると、被積分関数は偏微分の差として記述されます。
$$\oint_C (u dx - v dy) = \iint_D \left( -\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) dx dy$$
$$\oint_C (v dx + u dy) = \iint_D \left( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \right) dx dy$$
ここで決定的な役割を果たすのが、関数 $f(z)$ が正則であるための必要十分条件であるコーシー・リーマンの関係式です。
$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$
この関係式を重積分の内部に代入すると、驚くべき現象が起こります。
- 実部の被積分項：$(-\partial v / \partial x) - (\partial u / \partial y) = (\partial u / \partial y) - (\partial u / \partial y) = 0$
- 虚部の被積分項：$(\partial u / \partial x) - (\partial v / \partial y) = (\partial v / \partial y) - (\partial v / \partial y) = 0$
このように、被積分関数そのものが領域 $D$ の至る所でゼロになるため、重積分の結果も完全にゼロとなります。実部も虚部も綺麗に相殺され、最終的に $\oint_C f(z) dz = 0$ が導かれます。
なお、歴史的にはオーギュスタン＝ルイ・コーシーが導いた当初の証明では、グリーンの定理を使う前提として「導関数 $f'(z)$ が連続であること」を仮定していました。しかし後年、フランスの数学者エドゥアール・グルサがこの連続性の仮定を排除し、複素微分可能性のみから定理を証明することに成功しました。この発展形は現代数学において「コーシー・グルサの定理」と呼ばれ、理論の純粋性と堅牢性を極限まで高めた金字塔として記録されています。
