三角形の重心（英語で Centroid、記号ではよく $G$ と表記されます）を一言で定義するなら、「三角形の3本の中線が交わる1点」です。ここでいう中線とは、三角形の1つの頂点と、その対辺の中点を結んだ線分を指します。
重心には、幾何学において極めて美しく実用的な性質が備わっています。その代表格が「重心は各中線を頂点側から 2：1 に内分する」という定理です。どのような形状の三角形であっても、鋭角三角形・鈍角三角形・直角三角形を問わず、この比率は常に成立します。
なぜ中線は必ず1点で交わり「2:1」になるのか？相似によるスマートな証明
教科書や試験で頻出となる「2:1 に内分する性質」の証明は、中学校で習う中点連結定理と三角形の相似を用いることで明快に理解できます。
三角形 $ABC$ において、辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $AC$ の中点を $N$ とし、2本の中線 $BN$ と $CM$ の交点を $G$ と置きます。線分 $MN$ を引くと、中点連結定理により以下の関係が成り立ちます。
- $MN \parallel BC$
- $MN = \frac{1}{2}BC$
平行線の錯角は等しいため、$\triangle GMN$ と $\triangle GCB$ は2組の角がそれぞれ等しく、相似比 1：2 の相似な三角形（$\triangle GMN \sim \triangle GCB$）になります。対応する辺の比を比べると、
$$CG : GM = BG : GN = BC : MN = 2 : 1$$
となり、交点 $G$ が中線 $CM$ と $BN$ をそれぞれ頂点側から 2：1 に内分することが示されます。同様に頂点 $A$ からの中線 $AL$ を引いても、まったく同じ比率で交点を通るため、「3本の中線は必ず1点（重心 $G$）で交わり、すべての中線を 2：1 に内分する」ことが証明されます。
