入試問題が真に受験生を篩（ふる）い落としにかかるのは、小数部分 $b$ を求めた後の代数計算である。設問の後半では、ほぼ確実に $b^2 + 6b$ や $b + \frac{1}{b}$、さらには $b^3 + b^{-3}$ といった対称式の値を求める変形が待ち構えている。
愚直に $b = \sqrt{13} - 3$ を代入して展開しようとすると、計算量は膨れ上がり、符号ミスという罠に嵌まる。ここで劇的な効果を発揮する裏技が「無理数を単独にして2乗する」という代数的処置だ。$b = \sqrt{13} - 3$ を移項して $b + 3 = \sqrt{13}$ とし、両辺を2乗すれば $b^2 + 6b + 9 = 13$、すなわち $b^2 + 6b = 4$ が電光石火の速さで求まる。高次式の値を求める際にも、この2次関係式を用いた多項式の割り算（次数下げ）を適用すれば、複雑怪奇に見えた式が一瞬で単純な数値へと姿を変える。
