「公式は知っているが、なぜ12で割るのか分からない」という状態では、本番の緊張感の中で符号や指数を取り違えるリスクが高まります。ここでは、最も典型的な「3次関数と接線」のケースにおける12分の1公式 導出と証明の流れを整理します。
3次関数 $f(x)$ と接線 $g(x)$ が $x = \alpha$ で接し、$x = \beta$ で交わるとき、差の関数 $f(x) - g(x)$ は因数定理により $a(x - \alpha)^2(x - \beta)$ と因数分解できます。求める面積 $S$ は以下の定積分となります。
$$S = \int_{\alpha}^{\beta} |a(x - \alpha)^2(x - \beta)| \, dx = |a| \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2(\beta - x) \, dx$$
ここで、展開して普通に積分するのではなく、$(x - \alpha)$ の塊を作るテクニックを用います。$(\beta - x) = (\beta - \alpha) - (x - \alpha)$ と変形するのがポイントです。
$$\begin{aligned} \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2 \{ (\beta - \alpha) - (x - \alpha) \} \, dx &= (\beta - \alpha) \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2 \, dx - \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^3 \, dx \\ &= (\beta - \alpha) \left[ \frac{(x - \alpha)^3}{3} \right]_{\alpha}^{\beta} - \left[ \frac{(x - \alpha)^4}{4} \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= (\beta - \alpha) \cdot \frac{(\beta - \alpha)^3}{3} - \frac{(\beta - \alpha)^4}{4} \\ &= \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) (\beta - \alpha)^4 \\ &= \frac{1}{12}(\beta - \alpha)^4 \end{aligned}$$
通分によって生じる「$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$」こそが、この公式の名称の由来です。この導出プロセスを一度自力で手を動かして再現しておくと、積分の本質である「塊で積分する感覚」が身につき、丸暗記特有の不安感が完全に解消されます。
