Q1：なぜ $\arcsin x$ と $\arccos x$ の導関数は符号が違うだけなのですか？
A1：直角三角形を考えると、一方の鋭角が $\theta$ なら他方は $\frac{\pi}{2} - \theta$ となります。ここから恒等式 $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ が成り立ちます。この両辺を $x$ で微分すると、右辺の定数は $0$ になるため、$(\arcsin x)' + (\arccos x)' = 0$ となり、両者の導関数は絶対値が同じで符号が逆転する関係になります。
Q2：$\arctan(x/a)$ の微分と積分で、係数 $1/a$ がどうなるのか混乱します。
A2：微分の計算では、連鎖律によって外側に $(x/a)' = 1/a$ が掛かり、分母を通分した $a^2$ と相殺されて分子に $a$ が残ります。一方、積分 $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx$ では、微分したときに分子に残るはずの $a$ が被積分関数に存在しないため、辻褄を合わせるために結果の前に $\frac{1}{a}$ を掛ける必要があります。微分の導出過程を1度紙に書き出せば混同しなくなります。
Q3：高校の数IIIの教科書には載っていませんが、大学受験で使っても良いですか？
A3：国公立大の記述式試験では、高校課程外の記号である $\arcsin$ や $\arccos$ を断りなく使うと減点される恐れがあります。ただし、置換積分の背景知識として「$x = a\tan\theta$」や「$x = a\sin\theta$」と置く手法は頻出であり、背景にある逆三角関数の微積分を理解していれば、問題のゴールを正確に見通す強力な武器になります。
