公立高校の上位校や私立難関校の数学で頻出するのが、正四角錐 切断 体積の問題です。底面に平行な平面で正四角錐を途中で切り取った「正四角錐台（すいだい）」の体積を求めるパターンが代表例です。
この問題を解く際、切断された上下それぞれの体積を愚直に計算するのは得策ではありません。「立体の相似比と体積比の法則」を活用するのが鉄則です。
- 相似比と体積比の関係：相似な立体において、相似比が $m : n$ である場合、面積比は $m^2 : n^2$、体積比は $m^3 : n^3$ となります。
- 錐台の計算テクニック：例えば、高さの中点（相似比 $1 : 2$）で切断された場合、上の小さな正四角錐と全体の正四角錐の体積比は $1^3 : 2^3 = 1 : 8$ です。したがって、下側の正四角錐台の体積は全体の $\frac{8 - 1}{8} = \frac{7}{8}$ と瞬時に求まります。
複雑な立体の切断問題であっても、全体から切り取られた小角錐を差し引く発想と比の計算を組み合わせることで、計算ミスを大幅に抑制できます。
