「どうして 3分の4 になるのか？」という疑問は、数学への探求心を刺激する格好の題材です。高校数学の範囲である積分法を使うと、その謎はすっきりと解明されます。球を中心に沿って切り刻み、極小の円板の面積を連続的に足し合わせる（積分する）ことで、見事に $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ が導き出されるのです。
一方、高度な計算を使わずに図形の性質で証明する手法として名高いのが、古代から知られるカヴァリエリの原理です。「高さが等しく、どの高さで切っても断面積の等しい2つの立体は体積も等しい」という性質を利用します。円柱から円錐をくり抜いた立体と半球の断面積を比較すると、常に一致することが証明できます。複雑な数式を使わずとも、立体同士の美しい対比によって公式の正当性が浮かび上がってきます。
