高校入試や模擬試験の応用問題では、高さが意図的に伏せられ、代わりに「展開図の中心角」や「側面積」の数値だけが提示される出題パターンが頻出します。ここで多くの生徒が「高さが分からないから解けない」とパニックに陥りがちですが、展開図の幾何学的規則性を利用すれば、母線の逆算は驚くほど容易です。
円錐を展開すると、側面はおうぎ形になり、底面は円になります。このとき、おうぎ形の中心角の公式において極めて重要な比例関係が成り立ちます。「側面のおうぎ形の弧の長さ」と「底面の円周の長さ」がぴったり一致するため、中心角（$x^\circ$）と母線（$l$）、底面の半径（$r$）の間には次の恒等式が成立します。
$\frac{\text{中心角 } x}{360^\circ} = \frac{\text{底面の半径 } r}{\text{母線 } l}$
この関係式を変形することで、母線をダイレクトに導く円錐母線裏ワザ計算が完成します。母線 $l$ について解くと、次の通りになります。
母線 $l = r \times \frac{360^\circ}{x}$
具体例を見てみましょう。底面の半径が4cm、展開図のおうぎ形の中心角が120°である場合、母線は $4 \times (360 \div 120) = 4 \times 3 = 12\text{cm}$ と、わずか3秒で算出できます。面倒な弧の長さの比較方程式を紙に書き殴る必要はありません。
また、円錐側面積の求め方から逆算するルートも頻出です。円錐の側面積 $S$ は「$S = \pi \times \text{母線 } l \times \text{半径 } r$」という公式で表されるため、母線は $l = \frac{S}{\pi r}$ で直ちに逆算可能です。側面積が $36\pi\text{ cm}^2$、半径が3cmであれば、$l = \frac{36\pi}{3\pi} = 12\text{cm}$ となります。これらの逆算パターンを道具として持っておくだけで、中学数学空間図形の得点効率は劇的に向上します。
