正十角形や正二十角形など、角の数が増えた際に「対角線は何本引けるのか」を手作業で数え上げるのは現実的ではありません。そこで必須となるのが、幾何学と組合せ論の橋渡しとなる対角線の本数の求め方公式です。頂点の数をnとした場合、以下の数式で一瞬にして導き出せます。
公式：n角形の対角線の本数 ＝ n × (n - 3) ÷ 2
この数式は単なる丸暗記ではなく、明確な論理で構成されています。まず、ある1つの頂点から対角線を引く場合、自分自身と「左右に隣り合う2つの頂点」には引けないため、引ける相手は必ず「n - 3」個になります。頂点は全部でn個あるため全体では「n × (n - 3)」本の線が引ける計算になりますが、頂点Aから頂点Cへ引いた線と、頂点Cから頂点Aへ引いた線は同一の1本です。この重複を排除するために「÷ 2」を行うことで、公式が美しく完成します。
以下は、学習指導要領や各種検定試験でも頻出する多角形について、本数と対角線の挙動を整理した多角形の対角線本数一覧まとめです。
