分数が有限小数になるのか、それとも循環小数になるのか。この有限小数の見分け方には、極めて明快な数学の絶対法則が存在します。結論から言えば、「約分しきった既約分数の分母の素因数が、2と5だけであること」が必須条件です。
では、なぜ3や7が含まれているとダメで、分母が2と5のみになる理由は何なのでしょうか。その秘密は、私たちが採用している数の数え方「10進法」に直結しています。
一般的な分数から小数への変換方法は、分子を分母で割る計算（分子 ÷ 分母）です。そして、小数が途中で割り切れるということは、その小数を何倍（10倍、100倍、1000倍……すなわち10ⁿ倍）かしたときに、余りがなくなって「整数」になることを意味します。
基数である「10」を素因数分解すると、10 ＝ 2 × 5 です。10の累乗（10, 100, 1000, 10000……）をどのように分解しても、現れる素因数は「2」と「5」の掛け合わせ以外には絶対に存在しません。
【有限小数成立のメカニズム】
1. ある分数（分子／分母）を10ⁿ倍して整数にするには、分母が10ⁿを割り切る（約分で消える）必要がある。
2. 10ⁿが持っている素因数は「2」と「5」だけである。
3. したがって、既約分数の分母の素因数に「3」「7」「11」といった2と5以外の素数が1つでも混ざっていると、どれだけ10倍、100倍、1万倍していっても分母を打ち消すことができず、永久に整数にならない。
4. その結果、割り算の余りが循環し続け、有限小数ではなく「循環小数」になってしまう。
たとえば「3/8」という分数を検証してみましょう。分母の8を素因数分解すると「2 × 2 × 2（2³）」です。素因数は「2」しかありません。分母と分子に「5³（＝125）」を掛けると、分母は「2³ × 5³ ＝ (2×5)³ ＝ 1000」になります。分子は「3 × 125 ＝ 375」となるため、3/8 ＝ 375/1000 ＝ 0.375 となり、見事に有限小数へ変身します。これが、有限小数になる条件と理由の根本にある構造です。
