インターネット上の解説記事などで頻繁に見られる最大の誤解が、「世の中に存在するあらゆる多面体でV−E＋F＝2が成り立つ」という言説です。これは明確な誤りであり、数学的にはオイラーの多面体定理の反例と例外が存在します。
決定的な例外が、中央に穴が貫通している立体、すなわちドーナツ型多面体（トーラス型多面体）です。たとえば、四角いパイプを4本つなぎ合わせて中央に四角い空間を開けた「窓枠のような多面体」を正確にカウントしてみましょう。頂点の数は16個、辺の数は32本、面の数は16面になります。これを計算式に当てはめると次のようになります。
16（頂点） − 32（辺） ＋ 16（面） ＝ 0
計算結果は「2」ではなく「0」になってしまうのです。この数式の結果として現れる値を数学界ではオイラー標数（記号χ：カイ）と呼びます。穴のない球体のような立体ではオイラー標数は常に「2」ですが、穴が1つ開いたドーナツ型立体では「0」になり、穴が2つ開いた立体では「−2」、穴が3つなら「−4」と、穴が1つ増えるごとに2ずつ減少していきます。
オイラー標数の求め方は、立体の表面に開いた穴の数（数学用語で「種数：g」と呼びます）を用いて、以下の一般式で美しく表されます。
χ ＝ V − E ＋ F ＝ 2 − 2g
種数g＝0（穴なし）であれば「2 − 0 ＝ 2」となり通常の多面体定理に一致します。g＝1（ドーナツ型）であれば「2 − 2 ＝ 0」となります。この発見こそが、図形の長さや角度を無視し、「ゴムのように伸び縮みさせても保たれる性質」を研究するトポロジー（位相幾何学）の基礎を切り拓く契機となりました。
多面体定理の本質は、「立体そのものの性質」を測っていたのではなく、その立体が宿している「空間のトポロジー（穴の数）」を測っていたという驚くべき真相がここにあります。
