ロピタルの定理の核心は、分母と分子がともに0に収束する「0/0」や、ともに無限大に発散する「∞/∞」の不定形において、導関数の比の極限が存在するならば、元の関数の比の極限とその値が一致するという性質にあります。この定理の厳密な成立根拠を理解するには、通常の平均値の定理を一般化した「コーシーの平均値の定理」が不可欠です。
2つの連続関数 $f(x), g(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能であり、$g'(x) \neq 0$ を満たすとき、以下の関係を満たす実数 $c$（$a < c < b$）が存在します。
$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$
ここで $x \to a$ の極限において $f(a) = g(a) = 0$ となる状況を想定すると、左辺は $f(x)/g(x)$ と同一視でき、$x \to a$ に伴って $c \to a$ となるため、元の関数の極限値が導関数の極限値 $f'(a)/g'(a)$ に帰着されることが証明されます。この理論的背景を把握していないまま表層的な計算だけをなぞることが、後述する致命的な解答ミスを引き起こす土壌となっています。
