高校受験生の間で「知っているだけで差がつく」と話題になるのが、二次関数（放物線）における変化の割合の裏技公式です。
二次関数 y = ax² において、xの値が p から q まで増加するとき、変化の割合は以下の超短縮公式で求められます。
裏技公式：変化の割合 ＝ a(p + q)
実際に具体例で検証してみましょう。
【問題】関数 y = 3x² について、xの値が 2 から 4 まで増加するときの変化の割合を求めよ。
◆ 通常の解き方（教科書の手順）
1. x = 2 のとき、y = 3 × 2² = 12
2. x = 4 のとき、y = 3 × 4² = 48
3. xの増加量 ＝ 4 − 2 ＝ 2
4. yの増加量 ＝ 48 − 12 ＝ 36
5. 変化の割合 ＝ 36 ÷ 2 ＝ 18
◆ 裏技公式を使った解き方
a = 3、p = 2、q = 4 を公式に代入するだけです。
3 × (2 + 4) ＝ 3 × 6 ＝ 18
わずか1行、暗算なら3秒で同じ答えに到達できます。なぜこの公式が成り立つのか、数学的な証明も極めてシンプルです。
xの増加量は「q − p」、yの増加量は「aq² − ap²」となります。したがって、変化の割合は、
(aq² − ap²) ÷ (q − p) ＝ a(q² − p²) ÷ (q − p)
分子を因数分解すると、a(q − p)(q + p) となるため、分母の (q − p) と約分されて a(p + q) だけが残るという仕組みです。
この裏技は単なる手品ではなく、因数分解の公式に基づいた論理的な帰結です。マークシート方式や答えのみを記述する入試形式では圧倒的なアドバンテージをもたらします。
