ネット上の学習フォーラムやQ&Aサイトを見ていると、「解き方の手順を踏めば、あらゆる二重根号は外せるはずだ」と誤解している受験生が少なくありません。しかし、それは明確な間違いです。現実には、世の中に存在する二重根号の大半は外せません。なぜ外せないのか、その二重根号外せない理由を論理的に解明しておきましょう。
二重根号 √(p + 2√q) が √a + √b のように綺麗に外せるためには、前述の通り以下の連立方程式を満たす有理数 a, b（通常は整数）が見つかる必要があります。
a + b = p
ab = q
この2式から b を消去すると、二次方程式 t² - pt + q = 0 の解が a と b になることが分かります。解の公式を用いると、解は t = {p ± √(p² - 4q)} / 2 となります。ここで決定的に重要なのが、ルートの中身である判別式 D = p² - 4q です。
もし p² - 4q が平方数（1, 4, 9, 16, 25 などの整数の2乗）にならない場合、a や b そのものの中に新たなルートが残ってしまいます。例えば √(5 + 2√3) の場合、p = 5, q = 3 ですから、p² - 4q = 25 - 12 = 13 となり、13 は整数の2乗ではありません。したがって、有理数の範囲で綺麗な和と積の組み合わせを見つけることは数学的に不可能です。
教科書や問題集に掲載されている二重根号がことごとく外せるのは、作問者が「p² - 4q が綺麗な平方数になるような特殊な数値」を意図的に選別してパズルを組んでいるからです。大学入試数学の二重根号において、仮にどれだけ計算を試みても整数ペアが見つからない場合は、変形の前提となる立式や前段の小問で計算ミスを犯していないかを真っ先に疑うべきです。
