数学IIの「図形と方程式」で登場する円の方程式 公式には、大きく分けて「標準形」と「一般形」の2種類が存在します。問題用紙を開いた瞬間にどちらの形を選択するかで、解答にかかる時間は2倍から3倍近く変わります。
まず、基本となるのが中心と半径がひと目でわかる円の方程式 標準形です。
点 $(a, b)$ を中心とし、半径が $r$ である円の方程式は次のように表されます。
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
この式は、三平方の定理（ピタゴラスの定理）そのものです。中心 $(a, b)$ と円周上の任意の点 $(x, y)$ との距離が常に一定値 $r$ であるという幾何学的定義を代数化したものに過ぎません。特に中心が原点 $(0, 0)$ のときは、$x^2 + y^2 = r^2$ という極めてシンプルな形になります。
一方、この標準形を展開して項を整理したものが円の方程式 一般形です。
$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$
一般形の特徴は、$x^2$ と $y^2$ の係数がともに「1」であり、$xy$ の項が存在しない点です。一般形で与えられた式から円の中心と半径の求め方を実践する際は、必ず円の方程式 平方完成を行います。
例えば、$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ という一般形が与えられた場合、$x$ と $y$ についてそれぞれ平方完成を進めます。
$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 - 12 = 0$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 = 5^2$
これにより、中心が $(2, -3)$、半径が $5$ の円であることが瞬時に判明します。平方完成の定数項の移項ミスは全国模試でも上位を占める失点原因となっているため、細心の注意を払う必要があります。
