理解を確固たるものにするため、高校入試数学の頻出問題から厳選した「円錐の表面積計算ドリル」に挑戦してみましょう。標準レベルと応用レベルの2問を収録しています。
【第1問：基本編】母線と底面の半径から表面積を求める
【問題】
底面の半径が $4\text{cm}$、母線の長さが $10\text{cm}$ である円錐の表面積を求めなさい。
【解法と途中式】
① 底面積を計算します。
$\text{底面積} = \pi \times 4^2 = 16\pi\text{ (cm}^2\text{)}$
② 側面積を裏ワザ公式（母線×半径×$\pi$）で一瞬で導きます。
$\text{側面積} = \pi \times 10 \times 4 = 40\pi\text{ (cm}^2\text{)}$
③ 底面積と側面積を足し合わせます。
$\text{表面積} = 16\pi + 40\pi = 56\pi\text{ (cm}^2\text{)}$
【正解】$56\pi\text{ cm}^2$
【第2問：応用編】体積公式・三平方の定理との融合問題
【問題】
底面の半径が $3\text{cm}$、高さが $4\text{cm}$ である円錐の「表面積」および「体積」を求めなさい。
【解法と途中式】
まずは円錐の体積を求める公式「$\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$」を使って体積を算出します。
$\text{体積} = \frac{1}{3} \times (\pi \times 3^2) \times 4 = \frac{1}{3} \times 9\pi \times 4 = 12\pi\text{ (cm}^3\text{)}$
次に表面積を求めますが、問題文には「母線」が書かれていません。ここで円錐の頂点・中心・底面の端を結ぶ直角三角形に着目し、三平方の定理（$a^2 + b^2 = c^2$）を利用して母線 $l$ を割り出します。
$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{ (cm)}$
母線が $5\text{cm}$ と判明したため、裏ワザ公式を適用します。
$\text{底面積} = \pi \times 3^2 = 9\pi\text{ (cm}^2\text{)}$
$\text{側面積} = \pi \times 5 \times 3 = 15\pi\text{ (cm}^2\text{)}$
$\text{表面積} = 9\pi + 15\pi = 24\pi\text{ (cm}^2\text{)}$
【正解】体積：$12\pi\text{ cm}^3$ ／ 表面積：$24\pi\text{ cm}^2$
