これらの変換公式は、単独の計算問題だけでなく、式の簡約化や図形と計量の複合問題として出題されます。定期テストや大学入学共通テストで頻出の解法パターンを押さえておきましょう。
代表的な典型題として挙げられるのが、「角の和が90°または180°になるペアを見つけて式をまとめる」タイプの計算問題です。
【典型例題】次の式の値を求めよ。
sin²(40°) + sin²(50°) + cos²(20°) + cos²(110°)
この問題をスムーズに解く手順は以下の通りです。
1. 50°を (90°-40°) に変換する
sin(50°) = sin(90°-40°) = cos(40°) となるため、前半部分は sin²(40°) + cos²(40°) = 1 へと変形できます。
2. 110°を (90°+20°) に変換する
cos(110°) = cos(90°+20°) = -sin(20°) となります。二乗すると {-sin(20°)}² = sin²(20°) となるため、後半部分も cos²(20°) + sin²(20°) = 1 に帰着します。
3. 全体の和を計算する
1 + 1 = 2 となり、複雑に見えた三角比の式が整数へと整理されます。
共通テストの第1日程などでも、誘導形式の中で「sin(90°-A) = cosA」を使って余弦定理や正弦定理へ橋渡しさせる設問が頻出しています。公式を単なる道具として暗記するのではなく、角度の差や和に着目してペアを作る視点がスピードアップへの最短ルートです。
