関根氏のキャリアを語る上で欠かせないのが、現役時代の突出した二刀流の成績です。法政大学時代からエース兼主軸打者として東京六大学リーグで活躍した関根氏は、1950年に近鉄パールスへ入団。当初は左腕エースとしてチームを牽引し、1953年にはシーズン16勝を挙げるなど球界を代表する投手として名を馳せました。
しかし、肩の酷使によって投球に限界を感じると、1957年からは本格的に打者へ転向。卓越したバットコントロールを武器にすぐさまレギュラーの座を掴み取り、1958年には打率.310をマークしてリーグ打撃成績6位に食い込みました。その後、現役最終年の1965年には巨人に移籍し、代打の切り札として球団初のV9初年度に貢献しています。
日本プロ野球において「投手として50勝以上、打者として1000安打以上」を記録した選手は、関根潤三氏と中日などで活躍した西沢道夫氏を含め、歴史上ごくわずかしか存在しません。投手と野手の両面で過酷な勝負の世界を生き抜いた実体験があったからこそ、後年の指導者時代に投打双方の選手の心理を誰よりも深く理解することができたのです。