「導出できるのは分かったけれど、試験時間中にいちいち展開している余裕はない」という受験生のために、3乗の公式 符号の覚え方における強力な2つの裏ワザを紹介します。
裏ワザ①：展開公式は「$b$ の個数」に注目する
$(a-b)^3$ の展開において、符号のプラス・マイナスを決めているのは「$-b$ が何回掛け合わされているか」だけです。
・$a^3$：$(-b)$ は0個 $\rightarrow$ $+$
・$3a^2(-b)$：$(-b)$ は1個（奇数個） $\rightarrow$ $-$ ($ -3a^2b $)
・$3a(-b)^2$：$(-b)$ は2個（偶数個） $\rightarrow$ $+$ ($ +3ab^2 $)
・$(-b)^3$：$(-b)$ は3個（奇数個） $\rightarrow$ $-$ ($ -b^3 $)
このように「マイナスの文字が奇数乗ならマイナス、偶数乗ならプラス」という代数学の根本原理を意識するだけで、符号の暗記は完全に不要になります。
裏ワザ②：因数分解公式は「同・逆・プラス」のリズムで覚える
3乗の和と差の公式である $a^3 \pm b^3$ の因数分解は、次の3拍子のルールで100%固定されます。
1. 最初のカッコ $(a \dots b)$：左辺の符号と同じ（同）
2. 後ろのカッコの中間項 $(a^2 \dots ab + b^2)$：左辺の符号と逆（逆）
3. 最後の項 $(b^2)$：常に2乗なのでプラス（正）
さらに「$ab$ の前に『2』は付かない」という点だけ注意すれば、$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ および $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を瞬時に書き出すことが可能です。
