3乗の因数分解公式において、受験生が最もつまずきやすいのが「符号の配置」です。多くの学習者が展開公式と因数分解の公式を混同し、どちらにマイナスが付くのか直前で迷ってしまいます。
基本となる3乗の因数分解 公式は以下の2つです。
$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$
この2式を視覚的に混同する理由は、展開公式である $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ との形状の類似性にあります。因数分解公式では、中央の項の係数に「3」がつかない点、そして後ろのカッコ内に符号の逆転が起きる点が特徴です。
この混乱を解消する3乗公式 符号の覚え方として現場で推奨されているのが、「同・逆・正（どう・ぎゃく・せい）」ルールです。
左辺の符号を基準にして、次のように3箇所の符号を配置します。
- 第1ブロック（最初の1次式カッコ）： 左辺と「同じ」符号（$a^3+b^3$ なら $a+b$、$a^3-b^3$ なら $a-b$）
- 第2ブロック（2次式カッコの中央積）： 左辺と「逆」の符号（$a^3+b^3$ なら $-ab$、$a^3-b^3$ なら $+ab$）
- 第3ブロック（2次式カッコの末尾2乗）： 2乗するため「常に正（プラス）」（$+b^2$）
この「同・逆・正」の合言葉を意識するだけで、文字が複雑になった3乗の因数分解 覚え方としても即座に符号を再現できるようになります。
