なぜこの掛け算が成り立つのかという「方べきの定理の証明と理由」を理解することは、公式のど忘れを防ぐだけでなく、入試本番での幾何的ひらめきを生む源泉になります。すべてのパターンにおいて、主役となるのは方べきの定理と三角形の相似です。
まずパターン1（円内交差型）では、弦の両端を結んで2つの三角形「△PAC」と「△PDB」を作ります。弧CBに対する円周角は等しいため∠PAC＝∠PDBであり、対頂角も等しい（∠APC＝∠DPB）ことから、2角相当により△PAC ∽ △PDBが瞬時に証明されます。相似な三角形の対応する辺の比は等しいため、「PA：PD ＝ PC：PB」が成り立ち、外項の積と内項の積を取ることで「PA × PB ＝ PC × PD」が導かれます。
次にパターン2（円外割線型）です。円に内接する四角形の性質「対角の和は180°」「1つの外角はそれと隣り合う内角の対角に等しい」を利用します。4点A, B, D, Cが同一円周上にあるとき、線分ACとBDを結ぶと、共通の角Pに加えて∠PAC＝∠PDBが成立します。これにより△PAC ∽ △PDBとなり、まったく同じ辺の比「PA：PD ＝ PC：PB」から公式が導出されます。
最後にパターン3（接線型）では、接弦定理（円の接線と弦が作る角は、その内部にある弧に対する円周角に等しい）が決め手です。接点Tと円周上の点A, Bを結んで△PTAと△PBTに着目すると、∠PTA＝∠PBT（接弦定理）かつ共通角Pより、△PTA ∽ △PBTが成立します。辺の比「PT：PB ＝ PA：PT」から、対角の積を取ることで「PT² ＝ PA × PB」が完璧に証明されます。このように、高校数学平面幾何の美しさは、すべて基礎的な相似比の論理に集約されているのです。
