入試実戦において、解と係数の関係が単体で問われることは稀です。9割以上の確率でセット出題されるのが対称式の変形と解き方詳細まとめに代表される代数変形問題です。難関大学入試の応用問題対策として、受験生が即座に引き出せるようにしておくべき3つの解の対称式公式を網羅します。
1. 2乗の和の変形
最も基本的な変形であり、あらゆる対称式処理の土台となります。
$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$
2. 3乗の和の変形（入試最頻出の難所）
因数分解公式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を応用した変形です。
$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 - \alpha\beta - \beta\gamma - \gamma\alpha) + 3\alpha\beta\gamma$
この式は計算量が肥大化しやすいため、先ほどの2乗の和の結果を代入するか、元の3次方程式 $\alpha^3 = -\frac{b}{a}\alpha^2 - \frac{c}{a}\alpha - \frac{d}{a}$ を利用して次数下げを行うアプローチが、難関大で時間を節約するプロの解法です。
3. 分数の対称式
通分を行うことで、基本対称式のみの形に持ち込みます。
$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} + \dfrac{1}{\gamma} = \dfrac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}$
さらに、問題文で「$\alpha, \beta, \gamma$ を3つの解とする3次方程式を求めよ」と逆の操作を求められた場合は、3つの基本対称式をあらかじめ計算し、展開式 $x^3 - (\text{和})x^2 + (\text{2つの積の和})x - (\text{3つの積}) = 0$ に逆算代入する技術が求められます。
