法律上の観点から整理すると、同居家族がインフルエンザに感染していても、本人に症状がなければ法的な出勤停止義務はありません。
学校保健安全法では児童生徒に対して「発症した後5日を経過し、かつ解熱した後2日(幼児は3日)を経過するまで」を出席停止と定めていますが、この規定は一般企業の労働者には直接適用されません。また、感染症法(感染症の予防及び感染症の患者に対する医療に関する法律)においても、インフルエンザは5類感染症に分類されており、かつての新型コロナウイルス感染症のような「濃厚接触者」としての法的な行動制限や隔離規定は存在しないのが実情です。
したがって、本人が無症状であれば、法律上そのまま出勤すること自体に罰則や違法性はありません。ただし、これはあくまで「法令による一律の強制力がない」という話であり、実際の現場判断は個々の雇用契約や社内ルールに委ねられます。