区分求積法の根底にあるのは、「細かく分けて（区分）、面積を集める（求積）」という極めてシンプルな幾何学的アイデアです。放物線などの曲線で囲まれた面積を求めたいとき、直接計算するのが難しくても、幅の非常に狭い「長方形（短冊）」に分割すれば、それぞれの長方形の面積は「底辺 $\times$ 高さ」で容易に計算できます。
区間 $[0, 1]$ を $n$ 等分した状況を想像してください。分割された各長方形の横幅はすべて $\frac{1}{n}$ になります。そして、$k$ 番目の長方形の高さは、関数の値 $f(\frac{k}{n})$ で決定されます。この $n$ 個の長方形の面積をすべて足し合わせたものが、シグマを用いた以下の式です。
$$\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$$
ここで分割数 $n$ を無限大（$n \to \infty$）に飛ばすと、短冊の横幅 $\frac{1}{n}$ は限りなく $0$ に近づき、長方形の階段状のギザギザは曲線 $y=f(x)$ にぴったり一致します。これこそが定積分と極限の架け橋であり、シグマの極限計算が定積分 $\int_0^1 f(x)dx$ に等しくなる理由です。
