多くの教科書では自明として扱われがちな三角形の成立条件の証明ですが、国公立大の記述試験などでは「なぜそう言えるのか」を初等幾何や余弦定理を用いて証明させる問題が稀に出題されます。
最も代数的に美しい証明は、余弦定理を経由するアプローチです。三角形ABCにおいて、角Cに対する余弦定理は次の通りです。
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
三角形が存在するとき、内角 $C$ は $0^\circ < C < 180^\circ$ の範囲にありますから、余弦の取り得る値は $-1 < \cos C < 1$ です。この事実を不等式に反映させます。$\cos C < 1$ であることから、
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C > a^2 + b^2 - 2ab(1) = (a - b)^2$
両辺ともに正の値ですから、平方根をとることで $|a - b| < c$ が導かれます。また、$\cos C > -1$ であることから、
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C < a^2 + b^2 - 2ab(-1) = (a + b)^2$
同様に平方根をとれば $c < a + b$ が得られます。これらを合わせることで、$|a - b| < c < a + b$ という三角不等式が、余弦の定義域そのものから必然的に導かれることが証明されます。
また、学習者が混同しやすい概念として三角形の決定条件との違いが挙げられます。数学的な自由度（パラメータ）の観点から両者を整理しておきましょう。
- 三角形の成立条件（存在条件）：「与えられた3つの要素（3辺など）から、そもそも三角形という図形がこの世に存在できるか」を問う門番のような条件。
- 三角形の決定条件（合同条件）：「三角形が存在することを前提として、その形状と大きさがただ1通りに固定されるか」を問う条件（例：3組の辺がそれぞれ等しい、1組の辺とその両端の角が等しいなど）。
決定条件は図形を「特定」するための縛りですが、成立条件は図形が「誕生」するための足切りラインです。この2つのフェーズを区別して捉えることが、高校数学図形の性質を論理的に整理する基礎体力となります。
