理解を確固たるものにするため、頻出の円錐の体積 計算問題と、高校入試や現場実務で差がつく円錐台の解法演習に取り組みましょう。
基礎問題：標準的な円錐の体積
【問題】底面の半径が6cm、高さが10cmの円錐の体積を求めなさい。（円周率はπとする）
【解答手順】
1. 底面積を求める：6 × 6 × π ＝ 36π (cm²)
2. 高さを掛ける：36π × 10 ＝ 360π
3. 3で割る（1/3を掛ける）：360π ÷ 3 ＝ 120π (cm³)
※小学校算数の場合は 120 × 3.14 ＝ 376.8 cm³ となります。
応用問題：三平方の定理と連動する円錐
【問題】底面の半径が5cm、母線の長さが13cmの円錐の体積を求めなさい。
【解答手順】
1. 公式に母線をそのまま代入してはならない。まず高さをhとして三平方の定理を立てる。
h² ＋ 5² ＝ 13² ⇒ h² ＋ 25 ＝ 169 ⇒ h² ＝ 144 ⇒ h ＝ 12 (cm)
2. 高さが12cmと判明したため、体積公式に代入する。
V ＝ 1/3 × π × 5² × 12 ＝ 1/3 × 25π × 12 ＝ 100π (cm³)
難関突破：円錐台の体積の求め方
円錐を底面に平行な平面で切り、上部の小さな円錐を取り除いた残りの立体を「円錐台（えんすいだい）」と呼びます。プリンやバケツのような形状です。
円錐台の体積の求め方には、2つの有力なアプローチがあります。
- 相似比を活用した「大円錐 − 小円錐」法（推奨）：
切断前の大きな円錐全体の体積を求め、上部の切り取られた小さな円錐の体積を算出して引き算します。相似比が a : b なら体積比は a³ : b³ になる性質を使えば、計算量を最小限に抑えられます。 - 切頭体公式の適用：
下底の半径をR、上底の半径をr、高さをhとした場合、「V = 1/3 πh (R² + Rr + r²)」に直接数値を代入します。検算や公式暗記派の速解に有効です。
