1/6公式をマスターした後にぜひ押さえておきたいのが、入試で差がつく関連公式である「1/3公式」と「1/12公式」です。これらを知っておくことで、接線が絡む複雑な面積問題も瞬時に解法が見えてきます。
① 1/3公式（放物線と1本の接線、および特定の縦線で囲まれた面積）
放物線 $y = ax^2 + \dots$ と、その上の点 $x = \alpha$ における接線、および直線 $x = \beta$ で囲まれた面積は、以下の式で求められます。
$$S = \frac{|a|}{3}|\beta - \alpha|^3$$
接点を持つため重解 $(x - \alpha)^2$ を積分する形となり、分母が「3」になります。
② 1/12公式（放物線と2本の接線で囲まれた面積）
放物線上の異なる2点 $x = \alpha, \beta$ における2本の接線と放物線で囲まれた図形の面積は、1/6公式のちょうど「半分」の大きさになります。
$$S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^3$$
この関係性を知っておけば、接線の交点 $x = \frac{\alpha + \beta}{2}$ を用いた面倒な2分割積分を行うことなく、一撃で面積を導出できます。
