大学入試の力学で出題される単振動は、主に3つのパターンに集約されます。それぞれの立式と変形のポイントを整理しておきましょう。
1. 水平ばね振り子
滑らかな水平面上で質量 $m$ の小球にばね定数 $k$ のばねを接続したモデルです。自然長がつりあいの位置（$x = 0$）となり、運動方程式は $ma = -kx$ です。したがって $K = k$ となり、角振動数は $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$、周期は $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ となります。
2. 鉛直ばね振り子
天井から吊るしたばねに質量 $m$ のおもりを取り付けたモデルです。重力 $mg$ と弾性力が釣り合う位置を $x_0 = \frac{mg}{k}$（自然長からの伸び）とします。このつりあいの位置を原点 $x = 0$ にとり、下向きに $x$ だけ変位させたときの運動方程式を立てると、
$$ma = mg - k(x_0 + x) = mg - k\left(\frac{mg}{k} + x\right) = -kx$$
となり、重力 $mg$ が見事に相殺されます。つまり、「鉛直ばね振り子において、重力はつりあいの位置を中心方向にずらすだけの役割しか持たず、振動の特性（周期や角振動数）は水平ばね振り子と全く同じ」になります。
3. 単振り子（微小振動の近似）
長さ $L$ の糸につるされた小球が微小角 $\theta$ で揺れるモデルです。円軌道の接線方向の運動方程式を立てると、$ma = -mg\sin\theta$ となります。ここで振れ角が十分に小さいとき（$\theta \ll 1$）、$\sin\theta \approx \theta = \frac{x}{L}$ という近似が成り立ちます。これにより運動方程式は、
$$ma = -\frac{mg}{L}x$$
と書き直せます。比例定数 $K$ に相当する部分は $\frac{mg}{L}$ となるため、周期は $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/L}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ と導出されます。小球の質量 $m$ に周期が依存しない（等時性）という有名な事実も、立式から一目瞭然です。
