ネット上の簡易解説や要約ブログにおいて頻繁に見受けられる危険な誤解が、「コーシー・リーマンの関係式が成り立っていれば、その関数は複素微分可能である」という短絡的な説明です。これは数学的に明確な誤りであり、大学の期末試験や院試において大量失点をもたらす典型的な落とし穴となっています。
コーシー・リーマンの定理の正確な論理構造は次のとおりです。
「関係式が成立すること」は、複素微分可能であるための『必要条件』にすぎません。
これを示す反例として有名なのが、原点以外で $f(z) = \frac{z^5}{|z|^4}$（原点で $f(0) = 0$）と定義される関数です。この関数は原点において実軸方向・虚軸方向の偏微分を個別に計算するとコーシー・リーマンの関係式を完璧に満たしますが、斜め45度方向（$y = x$）から原点に近づけると差分商の極限値が異なる値となり、原点で複素微分不可能です。
複素微分可能性の「必要十分条件」を成立させるためには、偏微分の値が単に存在するだけでなく、実部 $u(x, y)$ と虚部 $v(x, y)$ が2変数実関数として「全微分可能」であること、実用上は「4つの偏導関数（$u_x, u_y, v_x, v_y$）がすべて連続（$C^1$ 級）であること」が決定打となります。この「偏導関数の連続性」という保証が揃って初めて、2方向の一致が全方位360度の一致へと昇華されるのです。
