大学入試の物理や専門課程において、光のドップラー効果は「音の類推」と「特殊相対論」の架け橋となる頻出テーマです。公式の成り立ちを極めてシンプルに整理します。
1. 相対論的な基本公式
光源と観測者が一直線上を相対速度 $v$ で互いに遠ざかっている場合、光源の固有振動数を $f_0$ とすると、観測者が受光する振動数 $f$ は以下の公式で厳密に表されます。
$$f = f_0 \sqrt{\frac{c - v}{c + v}} = f_0 \frac{\sqrt{1 - (v/c)^2}}{1 + (v/c)}$$
分子にある $\sqrt{1 - (v/c)^2}$ こそが、特殊相対性理論における時間の遅れを表すローレンツ因子の逆数です。光源が遠ざかる場合、$v > 0$ であるため分子は分母より小さくなり、観測される振動数 $f$ は元の振動数 $f_0$ より小さくなります（＝波長 $\lambda = c/f$ は長くなり、赤方偏移する）。逆に互いに近づく場合は、速度の符号を反転させることで $f > f_0$（青方偏移）となります。
2. 高校物理における近似解法
大学受験の「高校物理 光のドップラー効果の解法」では、物体の速度 $v$ が光速 $c$ に比べて極めて小さい（$v \ll c$）という条件が設定されるケースが通例です。このとき、二項定理による近似公式 $(1 \pm x)^n \approx 1 \pm nx$ を適用します。
波長の変化量 $\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0$ と元の波長 $\lambda_0$ の比は、驚くほど平易な一次式へと帰着します。
$$\frac{|\Delta \lambda|}{\lambda_0} \approx \frac{v}{c}$$
入試問題では「遠ざかる星から届く特定スペクトルの波長が何ナノメートル伸びているか」から逆算させ、星の後退速度 $v$ を求めさせる典型問題が頻出します。近似計算を使うべきか、特殊相対論の平方根を含む厳密解を使うべきかは、問題文に与えられた速度パラメータの桁数（光速の数％未満か否か）で見極めるのが鉄則です。
