公式を導出できるようになったら、実戦でどう使うかを整理します。受験生の多くが抱える「積和 和積 見分け方がわからない」という悩みには、明確な判断基準が存在します。
「積和」と「和積」を瞬時に見分ける鉄則
- 積和を使う場面（積 $\to$ 和）：
主に「積分計算（数III）」で頻出。$\int \sin 3x \cos 2x \, dx$ のように、三角関数の積のままでは不定積分ができないため、項ごとの足し算にバラすために用いる。 - 和積を使う場面（和 $\to$ 積）：
主に「方程式・不等式を解く場面」や「最大・最小（共通テスト数II・B/C）」で頻出。「$A \times B = 0$」の形を作れば「$A=0$ または $B=0$」という因数分解の論理に持ち込めるため、和の形を積にまとめる。
三角関数 和積の公式 問題演習
【例題】 次の方程式を解け（$0 \leqq x < \pi$）。
$\sin 3x + \sin x = 0$
【解説プロセス】
左辺はサイン同士の「和」です。これを「積」に変換するために、和積の公式を適用します。
角度の平均は $\frac{3x+x}{2} = 2x$、差の半分は $\frac{3x-x}{2} = x$ です。
よって、即座に次のように変形できます。
$2 \sin 2x \cos x = 0$
したがって、「$\sin 2x = 0$ または $\cos x = 0$」を解く問題へと帰着されます。
$0 \leqq x < \pi$ より、$2x$ の範囲は $0 \leqq 2x < 2\pi$。
・$\sin 2x = 0 \implies 2x = 0, \pi \implies x = 0, \frac{\pi}{2}$
・$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}$
求める解は、$x = 0, \frac{\pi}{2}$ となります。
このように、共通テスト 数学 和積公式が絡む設問では、「和のままでは手が出ない式を積にして因数分解の形へ持ち込む」という発想が定石となります。
