超幾何分布の数式は一見すると複雑に見えますが、高校数学で習う「場合の数（組み合わせ）」の比率として分解すると極めて平易に理解できます。
1. 確率質量関数（Probability Mass Function）
サイズ $N$ の有限母集団の中に $K$ 個の当たり（成功要素）が存在するとき、ここから $n$ 個を非復元抽出した際に含まれる当たり数 $X$ がちょうど $k$ 個となる確率は、以下の数式で定義されます。
$$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} = \frac{{}_K\mathrm{C}_k \cdot {}_{N-K}\mathrm{C}_{n-k}}{{}_N\mathrm{C}_n}$$
この式の分母・分子はそれぞれ以下の物理的意味を持っています。
- 分母 $\binom{N}{n}$：母集団全体 $N$ 個からサンプル $n$ 個を取り出す全事象の組み合わせ総数。
- 分子 $\binom{K}{k}$：$K$ 個の当たりの中から $k$ 個を選ぶ組み合わせ数。
- 分子 $\binom{N-K}{n-k}$：$(N-K)$ 個の外れの中から残り $(n-k)$ 個を選ぶ組み合わせ数。
取り得る値 $k$ の定義域（サポート）は、$\max(0, n - (N - K)) \le k \le \min(n, K)$ となります。当たり数や外れ数を超えて取り出すことはできないという至極当然の物理制約です。
2. 期待値（平均）の公式
母集団における当たりの割合を $p = \frac{K}{N}$ と定義したとき、超幾何分布の期待値 $E[X]$ は以下のようになります。
$$E[X] = n \cdot \frac{K}{N} = n p$$
驚くべきことに、期待値は二項分布の公式と完全に一致します。これは各回の試行を指示確率変数（インジケータ）$I_i$（$i$ 回目に当たりが出たら1、外れたら0）に分解し、線形性を利用して $E[X] = \sum_{i=1}^n E[I_i]$ を計算すると、非復元抽出であっても $i$ 回目に当たりを引く周辺確率は常に $\frac{K}{N}$ と一定になるという対称性から証明されます。
3. 分散の公式と有限母集団修正
一方、分散 $V[X]$ には非復元抽出特有の補正が加わります。
$$V[X] = n p (1 - p) \left( \frac{N - n}{N - 1} \right)$$
式中の $\frac{N-n}{N-1}$ は「有限母集団修正（Finite Population Correction: FPC）」と呼ばれます。サンプルサイズ $n$ が母集団サイズ $N$ に近づくほど修正項は0に近づき、全数検査（$n=N$）を行った場合は当たり数が確定（$X=K$）するため分散は完全に0となります。非復元抽出では「引けば引くほど残りの不確実性が減少する」ため、分散は常に二項分布の $np(1-p)$ よりも小さくなるのが数学的帰結です。
