知識を定着させるために、テストや模試で頻出する3つの典型的な計算問題に挑戦してみましょう。
問題1：正四角錐の体積（基本レベル）
【問題】 底面の一辺の長さが $6\text{ cm}$ の正方形で、頂点から底面に下ろした垂線の長さ（高さ）が $10\text{ cm}$ である正四角錐の体積を求めなさい。
【解答・解説】
1. 底面積 $S$ を計算します。
$$S = 6 \times 6 = 36\text{ cm}^2$$
2. 高さは $h = 10\text{ cm}$ です。
3. 角錐の体積公式に当てはめます。
$$V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120\text{ cm}^3$$
答え：$120\text{ cm}^3$
問題2：三角錐の体積（標準レベル）
【問題】 底面が底辺 $8\text{ cm}$、高さ $5\text{ cm}$ の三角形であり、立体の高さが $9\text{ cm}$ である三角錐の体積を求めなさい。
【解答・解説】
1. 底面が三角形なので、三角形の面積公式で底面積 $S$ を計算します。
$$S = 8 \times 5 \div 2 = 20\text{ cm}^2$$
2. 立体の高さは $h = 9\text{ cm}$ です。
3. 角錐の体積公式に当てはめます。
$$V = \frac{1}{3} \times 20 \times 9 = 60\text{ cm}^3$$
答え：$60\text{ cm}^3$
問題3：角錐台の体積（応用レベル）
【問題】 高さ $12\text{ cm}$ の四角錐を、底面から高さ $6\text{ cm}$ の位置で底面に平行な平面で切り、上部の小さな四角錐を取り除いた残りの「四角錐台」の体積を求めなさい。なお、もとの四角錐の底面積は $72\text{ cm}^2$ とします。
【解答・解説】
1. もとの大きな四角錐全体の体積 $V_{\text{大}}$ を求めます。
$$V_{\text{大}} = \frac{1}{3} \times 72 \times 12 = 288\text{ cm}^3$$
2. 上部の小さな四角錐ともとの大きな四角錐の相似比を求めます。高さの比は $(12 - 6) : 12 = 6 : 12 = 1 : 2$ です。
3. 立体の体積比は相似比の3乗に比例するため、体積比は $1^3 : 2^3 = 1 : 8$ となります。
4. 取り除く小さな四角錐の体積 $V_{\text{小}}$ は全体の $\frac{1}{8}$ です。
$$V_{\text{小}} = 288 \times \frac{1}{8} = 36\text{ cm}^3$$
5. 求める角錐台の体積は全体の体積から上部を差し引いた差分です。
$$V_{\text{台}} = 288 - 36 = 252\text{ cm}^3$$
答え：$252\text{ cm}^3$
