アカウントや同期方式の設定が完璧であっても、iOSの省電力機能やシステム制御によって通知がブロックされる場合があります。
代表的な要因がiPhoneの低電力モードによるメール受信の制限です。バッテリー残量が20%以下になった際などに低電力モードを有効化すると、iOSは電力消費を抑えるために「プッシュ通知の完全停止」および「バックグラウンドでのメールフェッチの無効化」を実行します。充電が完了してモードが自動解除されるまで、アプリを開かない限り新着メールを受信しません。
あわせて、iPhoneのバックグラウンド更新とメールの連動も見落とせません。「設定」>「一般」>「Appのバックグラウンド更新」がオフになっていると、待機中のデータ取得プロセスが制限されます。また、iOSの「集中モード」や「通知の要約」機能によって、メールの着信通知自体が指定時刻までサイレント保留されていないかも点検が必要です。