テストや入試で最も頻出するのが、内側のルートの前に「2」がない変形問題です。この場合、自力で無理やり「2」を作り出す必要があります。アプローチは大きく分けて2種類存在します。
パターン1：内側のルートから「4」を外に出して「2」を作る
内側のルートの数値が大きく、4で割り切れる場合は、中身から $4$（ルートの外に出ると $2$）を括り出します。
例：$\sqrt{9 + \sqrt{80}}$
$\sqrt{80} = \sqrt{4 \times 20} = 2\sqrt{20}$ と変形できます。
与式 $= \sqrt{9 + 2\sqrt{20}}$
「足して9、掛けて20」のペアは「5」と「4」です。
$= \sqrt{5} + \sqrt{4} = \mathbf{\sqrt{5} + 2}$
パターン2：分母分子を2倍する「分数変形」を活用する
ルートの中身から4を取り出せない（奇数や4の倍数でない）場合は、全体を分数にして分子に「2」を掛け算する二重根号 分数 変形の手法を使います。
例：$\sqrt{4 - \sqrt{15}}$
ルートの前に2がないため、式全体をルートの中で「$\frac{2}{2}$」倍します。
$\sqrt{4 - \sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8 - 2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$
分子の二重根号を外すと、「足して8、掛けて15」のペアは5と3なので $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ となります。
$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
最後に分母を有理化します。
$= \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})\sqrt{2}}{2} = \mathbf{\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}}$
この「$\frac{2}{2}$ を掛けて分子に2を出現させる」テクニックは、初見では思いつきにくいため、確実に解法パターンとして定着させておきましょう。
