パップス・ギュルダンの定理は、平面図形を同一平面上の直線（回転軸）の周りに一回転させてできる立体の回転体の体積や表面積を、驚くほど平易な掛け算で導き出せる幾何学・解析学の定理です。古代ギリシャの数学者パップスが発見し、17世紀にスイスの数学者ギュルダンが再発見・体系化した歴史を持ちます。
定理の骨子は極めて明快であり、以下の2つの公式から成り立ちます。
- 第1定理（表面積）：回転軸と交わらない平面上の曲線（長さ $L$）を一回転させた曲面の面積 $S$ は、曲線の重心 $G$ が描く円周の長さ（半径を $r_G$ とすると $2\pi r_G$）と線長 $L$ の積で表される。すなわち $S = 2\pi r_G L$。
- 第2定理（体積）：回転軸と交わらない平面上の領域（面積 $S_0$）を一回転させた回転体の体積 $V$ は、領域の重心 $G$ が描く円周の長さ（半径を $r_G$ とすると $2\pi r_G$）と面積 $S_0$ の積で表される。すなわち $V = 2\pi r_G S_0$。
通常、数学IIIの回転体の体積計算では、積分区間を設定し、断面の微小円盤を積分する $\int \pi y^2 dx$ やバウムクーヘン分割 $\int 2\pi x y dx$ などの緻密な立式が求められます。しかし本定理を用いれば、図形の面積と重心の位置さえ把握できていれば、積分の計算ステップを丸ごとスキップして答えに到達できます。
