「なぜこの単純なたすき掛けで面積が出るのか」という数学的根拠を理解しておくことは、応用問題への適応力を高める上で極めて重要です。ここでは代表的な2つの証明アプローチを整理します。
アプローチ1：高校数学のベクトル成分展開による証明
高校数学B・Cで学習する三角形の面積公式を出発点とします。原点を始点とする2つのベクトル $\vec{OA} = (x_1, y_1)$、$\vec{OB} = (x_2, y_2)$ がなす角を $\theta$ と置くと、面積 $S$ は以下のように表されます。
$$S = \frac{1}{2} |\vec{OA}| |\vec{OB}| \sin\theta = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{OA}|^2 |\vec{OB}|^2 (1 - \cos^2\theta)}$$
ここで内積の定義 $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos\theta$ を代入すると、有名なベクトルの面積公式が得られます。
$$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{OA}|^2 |\vec{OB}|^2 - (\vec{OA} \cdot \vec{OB})^2}$$
この式に各ベクトルの成分 $|\vec{OA}|^2 = x_1^2 + y_1^2$、$|\vec{OB}|^2 = x_2^2 + y_2^2$、$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = x_1 x_2 + y_1 y_2$ を代入して根号（ルート）の中身を展開します。
$$\begin{aligned} |\vec{OA}|^2 |\vec{OB}|^2 - (\vec{OA} \cdot \vec{OB})^2 &= (x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2) - (x_1 x_2 + y_1 y_2)^2 \\ &= (x_1^2 x_2^2 + x_1^2 y_2^2 + y_1^2 x_2^2 + y_1^2 y_2^2) - (x_1^2 x_2^2 + 2x_1 x_2 y_1 y_2 + y_1^2 y_2^2) \\ &= x_1^2 y_2^2 - 2x_1 y_2 x_2 y_1 + x_2^2 y_1^2 \\ &= (x_1 y_2 - x_2 y_1)^2 \end{aligned}$$
ルートの中身が見事な完全平方式になりました。$\sqrt{A^2} = |A|$ ですから、根号を外すと直ちに目的の公式が導かれます。
$$S = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$$
この数式変形は三角形 面積 外積 2次元の本質そのものであり、2つのベクトルが張る平行四辺形の面積（行列式の絶対値 $\det \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix}$）のちょうど半分であることを示しています。
アプローチ2：中学数学の代数幾何（長方形からの減法）による証明
第1象限において点 $A(x_1, y_1)$ と点 $B(x_2, y_2)$（ただし $x_1 > x_2 > 0$, $y_2 > y_1 > 0$ とする）を囲む長方形を考えます。長方形の幅は $x_1$、高さは $y_2$ となり、その全面積は $x_1 y_2$ です。ここから3つの直角三角形を差し引きます。
- 下側の直角三角形：$\frac{1}{2} x_1 y_1$
- 左側の直角三角形：$\frac{1}{2} x_2 y_2$
- 右上の直角三角形：$\frac{1}{2} (x_1 - x_2)(y_2 - y_1)$
これらを引き算して整理すると、完全に一致する式が導かれます。
$$S = x_1 y_2 - \left[ \frac{1}{2}x_1 y_1 + \frac{1}{2}x_2 y_2 + \frac{1}{2}(x_1 y_2 - x_1 y_1 - x_2 y_2 + x_2 y_1) \right] = \frac{1}{2}(x_1 y_2 - x_2 y_1)$$
