直感的な例えは腑に落ちやすい反面、「なぜ数学という厳密な学問でそう定義しなければならないのか」という根本的な疑問への完全な回答にはなりません。数学の歴史において、負の数の掛け算がプラスと定められた最大の理由は、「正の数で成り立っていた計算ルール（特に分配法則）を、負の数にも矛盾なく適用させるため」です。
ここでは、中学1年生の知識で完全に理解できる、分配法則を用いた負の数の掛け算証明をステップ形式で解説します。
目標として、$(-1) \times (-1) = 1$ になる理由を論理的に導き出します。
【ステップ1：前提の確認】
誰にとっても明らかな事実として、次の式を出発点とします。
$1 + (-1) = 0$
【ステップ2：両辺に $(-1)$ を掛ける】
等式の両辺に同じ数 $(-1)$ を掛けます。右辺の $0 \times (-1)$ は当然 $0$ になります。
$\{1 + (-1)\} \times (-1) = 0$
【ステップ3：分配法則を展開する】
左辺に算術の基本法則である分配法則 $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$ を適用します。
$\{1 \times (-1)\} + \{(-1) \times (-1)\} = 0$
【ステップ4：計算を整理する】
$1 \times (-1)$ は $-1$ ですから、式は次のようになります。
$-1 + \{(-1) \times (-1)\} = 0$
【ステップ5：論理的結論の導出】
「$-1$」に何かを足して「$0$」になるためには、その「何か」は「$+1$」でなければ計算が成り立ちません。したがって、必然的に次の等式が導かれます。
$(-1) \times (-1) = 1$
もし仮に「マイナス×マイナス＝マイナス」と勝手に決めてしまうと、古代ギリシャから積み上げられてきた分配法則という大原則が崩壊し、数学全体の整合性が失われてしまいます。数学の負の数の計算ルールは、既存の論理体系を美しく維持するために「プラスにならざるを得なかった」のです。
