中学2年生の幾何分野に入ると、計算中心から「論理的な証明」へとフェーズが移行します。ここで多くの生徒が脱落する原因が、「定義」と「性質」の混同です。この2つの違いをクリアにしておかないと、入試や定期テストの証明問題で部分点すらもらえなくなります。
平行四辺形の「定義」はたった1つ
定義とは、数学における「言葉の約束事・名付けのルール」です。
【定義】：2組の対辺がそれぞれ平行な四角形
これ以外の要素（辺の長さが等しい、角度が等しいなど）は、すべて定義から派生して論理的に導き出された「結果」に過ぎません。
証明によって導かれる平行四辺形の3大「性質」
定義を出発点として、三角形の合同条件を使って導かれる性質が以下の3つです。
1. 2組の対辺はそれぞれ等しい（$AB = CD, AD = BC$）
2. 2組の対角はそれぞれ等しい（$\angle A = \angle C, \angle B = \angle D$）
3. 対角線はそれぞれの中点で交わる
平行四辺形の角度の求め方
性質の「対角が等しい」に加え、平行線の同位角・錯角の性質から、「隣り合う2つの角を足すと必ず180度になる」という極めて強力な法則が導かれます。
たとえば、ひとつの角が70度であれば、向かい合う角も70度、隣り合う角は「$180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$」と瞬時に求まります。角度の割り出しに迷った際は、この「隣同士の和は180度」を思い出すのが近道です。
入試頻出！平行四辺形になるための5つの条件
「ある四角形が平行四辺形であること」を証明するためには、以下の5つの条件のうちいずれか1つを満たしていることを示さなければなりません。
① 2組の対辺がそれぞれ平行である（定義そのもの）
② 2組の対辺がそれぞれ等しい
③ 2組の対角がそれぞれ等しい
④ 対角線がそれぞれの中点で交わる
⑤ 1組の対辺が平行で、かつその長さが等しい
特に⑤は、公立高校入試の証明問題で最も狙われるキラーカードです。「平行な辺」と「等しい辺」が別々の辺であっては成立しないため、同一の1組に両方の性質が揃っていることを確認してください。
