ここまでの理論を定着させるため、実際の定期テストや入試で出題されるレベルの練習問題を通じて、具体的な思考プロセスを追体験してみましょう。
【問題1：標準レベル】通常の円柱の表面積
底面の半径が$3\text{cm}$、高さが$7\text{cm}$である円柱の表面積を求めなさい。
【思考プロセスと正解】
- ステップ1（底面積）：底面の円の面積は $3 \times 3 \times \pi = 9\pi$。底面は上下に2枚あるため、$9\pi \times 2 = \mathbf{18\pi\,(\text{cm}^2)}$。
- ステップ2（側面積）：側面の長方形の横の長さは、底面の円周と等しいため $2 \times \pi \times 3 = 6\pi$。高さは$7\text{cm}$なので、側面積は $6\pi \times 7 = \mathbf{42\pi\,(\text{cm}^2)}$。
- ステップ3（合計）：底面積の合計と側面積を足し合わせます。
$18\pi + 42\pi = \mathbf{60\pi\,(\text{cm}^2)}$。
【問題2：応用レベル】半円柱の表面積
底面の半径が$4\text{cm}$、高さが$10\text{cm}$である半円柱の表面積を求めなさい。
【思考プロセスと正解】
- ステップ1（底面積2枚）：半径$4\text{cm}$の半円が2枚なので、半径$4\text{cm}$の円1枚分と等しくなります。したがって、$\pi \times 4^2 = \mathbf{16\pi\,(\text{cm}^2)}$。
- ステップ2（曲面の側面積）：底面の半円の弧の長さは、直径$8\text{cm}$の円周の半分なので $8\pi \div 2 = 4\pi\text{cm}$。これに高さを掛けると、$4\pi \times 10 = \mathbf{40\pi\,(\text{cm}^2)}$。
- ステップ3（切断面の長方形）：切り口は、縦が高さ$10\text{cm}$、横が底面の「直径」$8\text{cm}$の長方形です。面積は $10 \times 8 = \mathbf{80\,(\text{cm}^2)}$。
- ステップ4（合算）：$\pi$が付いている項同士を足し、整数項と並べます。
$(16\pi + 40\pi) + 80 = \mathbf{(56\pi + 80)\,(\text{cm}^2)}$。
このように、構造を分解して順を追って計算すれば、一見複雑に見える応用問題も確実に満点を獲得できます。
